Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點；
（2）在（1）的條件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立時，f（m+3）為正數，若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由；
（3）若對x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]有兩個不等實根，證明必有一個根屬于（x1 ， x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（1）=0，

所以a+b+c=0，

又因為a＞b＞c，

所以a＞0，且c＜0，

因此ac＜0，

所以△=b2﹣4ac＞0，

因此f（x）的圖象與x軸有2個交點

（2）解：由（1）可知方程f（x）=0有兩個不等的實數根，不妨設為x1和x2，

因為f（1）=0，

所以f（x）=0的一根為x1=1，

因為x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

所以x2=﹣ ﹣1= ，

因為a＞b＞c，a＞0，且c＜0，

所以﹣2＜x2＜0．

因為要求f（m）=﹣a＜0，

所以m∈（x1，x2），

因此m∈（﹣2，1），

則m+3＞1，

因為函數y=f（x）在[1，+∞）上單調遞增；

所以f（m+3）＞f（1）=0成立

（3）解：構造函數g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，

則g（x1）=f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x1）﹣f（x2）]，

g（x2）=f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x2）﹣f（x1）]，

于是g（x1）g（x2）= [f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]

=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2，

因為f（x1）≠f（x2），

所以g（x1）g（x2）=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，

所以方程g（x）=0在（x1，x2）內有一根，

即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根屬于（x1，x2）

【解析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根據a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判別式可證；（2）由條件知方程的一根為1，另一根滿足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），從而m+3＞1，根據函數y=f（x）在[1，+∞）上單調遞增，可知（m+3）＞0成立． （3）構造函數g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，進而證明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1 ， x2）內有一根，故方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根屬于（x1 ， x2）．