Question

【題目】橢圓C： 的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構成等比數列，記△的面積為S.

（1）求橢圓C的方程.

（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？

（3）求S的范圍.

Answer 1

【答案】(1) （2）5（3）

【解析】試題分析：

根據橢圓： 的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求出橢圓的方程。

設直線的方程為,代入橢圓方程，消去，根據、、恰好構成等比數列，求出,進而表示出，即可得出結論。

表示出的面積，利用基本不等式，即可求出的范圍。

解析：(1)由題意可知，且，

所以橢圓的方程為

（2）依題意，直線斜率存在且，設直線的方程為（），、

由

，因為、、恰好構成等比數列，

所以，

即；

所以

此時

得，且（否則：，則，中至少有一個為，直線、中至少有一個斜率不存在，與已知矛盾）

所以；

所以

所以是定值為5；

（3）（，且）

所以