Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x+1）f′（x）≥0，則有（　　）

A．f（0）+f（-2）＜2f（-1）

B．f（0）+f（-2）≤2f（-1）

C．f（0）+f（-2）＞2f（-1）

D．f（0）+f（-2）≥2f（-1）

Answer 1

分析：將不等式（x+1）f′（x）≥0進行分類討論，可得函數y=f（x）在區間（-∞，-1）上是減函數，在區間（-1，+∞）上是增函數，從而得到f（0）＞f（-1）且f（-2）＞f（-1），相加即得正確答案．

解答：解：∵函數f（x）滿足（x+1）f′（x）≥0，
∴當x＜-1時，f′（x）≤0，而x＞-1時，f′（x）≥0，
由此可得，函數y=f（x）在區間（-∞，-1）上是減函數，在區間（-1，+∞）上是增函數
∴f（-1）是函數的極小值，也是函數的最小值
可得f（0）＞f（-1）且f（-2）＞f（-1），相加得f（0）+f（-2）＞2f（-1），
特別地，當f′（x）=0時，f（x）為常函數，也符合題意
故有f（0）=f（-2）=f（-1），從而有f（0）+f（-2）=2f（-1）；
因此有f（0）+f（-2）≥2f（-1），
故選：D

點評：本題給出滿足（x+1）f′（x）≥0的抽象函數f（x），要我們比較函數值的大小關系，著重考查了函數的單調性與導數符號的關系的知識點，屬于基礎題．