Question

有下列4個命題：
①函數y=f（x）在一點的導數值為0是函數y=f（x）在這點取極值的充要條件；
②若橢圓x²+my²=1的離心率為

3

2

，則它的長半軸長為1；
③對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x-1）f′（x）≥0，則必有f（0）+f（2）≥2f（1）；
④經過點（1，1）的直線，必與

x2

4

+

y2

2

=1有2個不同的交點．
其中真命題的為

③④

將你認為是真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：令y=f（x）=x³，由f′（0）=0可判斷①的正誤；
當焦點在y時，可判斷②錯誤；
對x分x＞1與x＜1討論，利用導數判斷函數的單調性，從而可判斷③的正誤；
由于點（1，1）在已知橢圓內，從而可判斷④的正誤．

解答：解：令y=f（x）=x³，f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在R上單調遞增，無極值，
但f′（0）=0，
∴①錯誤；
∵橢圓x²+my²=1的離心率為

3

2

，
∴當焦點在x軸時，長半軸a=1，短半軸b=

1

2

；
當焦點在y軸時，短半軸b=1，長半軸a=2，
故②錯誤；
對于③，∵（x-1）f′（x）≥0，
∴當x＞1時，f′（x）≥0，即f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴f（2）＞f（1）；
當x＜1時，f′（x）≤0，
同理可得f（0）＞f（1）；
∴f（0）+f（2）≥2f（1），即③正確；
對于④，∵

12

4

+

12

2

＜1，
∴點（1，1）在已知橢圓內，
∴經過點（1，1）的直線，必與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1有2個不同的交點，故④正確；
綜上所述，真命題為③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查橢圓的性質及導數、函數的單調性的綜合應用，考查分析推論與運算能力，屬于中檔題．