Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足

1-x

f′(x)

≤0，則必有（　　）

A．f（0）+f（2）＜2f（1）

B．f（0）+f（2）≤2f（1）

C．f（0）+f（2）＞2f（1）

D．f（0）+f（2）≥2f（1）

Answer 1

分析：由

1-x

f′(x)

≤0，通過對x分類討論：當x≥1時，f′（x）＞0；當x≤1時，f′（x）＜0，即可得到單調性，利用單調性即可得出．

解答：解：由

1-x

f′(x)

≤0，可知：當x≥1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當x≤1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），
∴f（0）+f（2）＞2f（1）．
故選C．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．