Question

（2011•安徽模擬）定義：對于函數f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）對定義域內的x恒成立，則稱函數f（x）為?函數．
（Ⅰ）證明：函數f（x）=e^x1nx為?函數．
（Ⅱ）對于定義域為（0，+∞）的?函數f（x），求證：對于定義域內的任意正數x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n）

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導函數，得到f'（x）＞f（x），得證．
（II）構造函數g(x)=

f(x)

ex

，g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，判斷出g（x）在R上遞增，l利用函數的單調性及不等式的性質得到證明．

解答：證明：（Ⅰ）∵f（x）=e^xlnx，
∴f′(x)=exlnx+

ex

x

，
因為x＞0，
所以

ex

x

＞0，
所以f'（x）＞f（x）
所以函數f（x）=e^x1nx為?函數．…（6分）
解：（Ⅱ）構造函數g(x)=

f(x)

ex

，g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
即g（x）在R上遞增，…（8分）
所以g（ln（x₁+x₂+…x_n））＞g（lnx₁），g（lnx₁），g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₂），…，g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx_n）
得到

x1f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx1)

x2f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx2)
…

xnf(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnxn)
相加后，得到：f（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞f（lnx₁）+f（lnx₂）+…+f（lnx_n）．…（12分）

點評：本題考查利用導函數的符號判斷函數的單調性及考查不等式的性質，是 一道新定義的題目，是高考中的熱點問題．