Question

（2011•安徽模擬）已知函數f（x）=sinx-

x

2

的導數為f'（x），且f'（x）的最大值為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，則實數k的取值范圍是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：先根據f'（x）的最大值為b求出b值，再由函數g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，轉化成g'（x）≤0在[1，+∞）內恒成立，利用參數分離法即可求出k的范圍．

解答：解：∵函數f（x）=sinx-

x

2

的導數為f'（x）=cosx-

1

2

，
∴b=

1

2

∵g（x）=2lnx-x²-kx在[1，+∞）上單調遞減
∴g'（x）=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）內恒成立．
即 a≥

2

x

-2x在[1，+∞）內恒成立．
∵t=

2

x

-2x在[1，+∞）上的最大值為0，
∴k≥0．
故答案為：[0，+∞）．

點評：此題主要考查利用導函數的正負判斷原函數的單調性，關于不等式恒成立問題要轉化成求最值問題來解決，屬于基礎題．