Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長和側棱長均為a，側面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=

6

2

a．
（1）求證：A₁B⊥平面AB₁C：
（2）求直線BC₁與平面ABB₁A₁，所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）過點B作OB⊥AC，垂直為點O，由已知條件推導出A₁O⊥底面ABC．由此能證明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）以O為原點，以OB、OC、OA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC₁與平面ABB₁A₁，所成角的正弦值．

解答： （1）證明：過點B作OB⊥AC，垂直為點O，
則BO⊥側面ACC₁A₁，連結A₁O，在Rt △A1BO中，A1B=

6

2

a，BO=

3

2

a，
∴A1O=

3

2

a，又AA₁=a，AO=

a

2

，
∴A1O2+AO2=AA12，
∴△A₁AO為直角三角形，∴A₁O⊥AC，
∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁O⊥底面ABC．
設A₁B與AB₁相交于D，∵ABB₁A₁為棱形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC⊥A₁O，AC⊥BO，A₁O∩BO=O，
∴AC⊥平面A₁OB，
∵A₁B?平面A₁OB，∴A₁B⊥AC，
∵A₁B∩AC=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C．
（2）如圖，以O為原點，以OB、OC、OA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
由題意知B（

3

2

a，0，0），A（0，-

1

2

a，0），A₁（0，0，

3

2

a），C₁（0，a，

3

2

a），
∴

AA1

=(0，

1

2

a，

3

2

a)，

AB

=(

3

2

a，

1

2

a，0)，

BC1

=(-

3

2

a，a，

3

2

a)，
設平面ABB₁A₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AA1

=0，

n

•

AB

=0，
∴

1 2 ay+ 3 2 az=0 3 2 ax+ 1 2 ay=0

，解得

x=z y=- 3 z

，令x=1，得

n

=(1，-

3

，1)，
設BC₁與平面ABB₁A₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

- 3 2 a- 3 a+ 3 2 a

5 2 a• 5

|=

6

5

．
∴直線BC₁與平面ABB₁A₁，所成角的正弦值為

6

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成平面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．