Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若a=1，且2cosC+c=2b，則△ABC的周長的取值范圍是（　�。�

• A、（1，3]
• B、[2，4]
• C、（2，3]
• D、[3，5]

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周長的取值范圍．

解答： 解：△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴

1+b2-c2

b

+c=2b，化簡可得：（b+c）²-1=3bc，
∵bc≤（

b+c

2

）²，
∴（b+c）²-1≤3×（

b+c

2

）²，
解得：b+c≤2（當且僅當b=c時，取等號）．
∴a+b+c≤3，
再由任意兩邊之和大于第三邊可得：b+c＞a=1，
故有a+b+c＞2，
則△ABC的周長的取值范圍是（2，3]，
故選：C．

點評：此題考查了余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．