Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為點是橢圓上任意一點，且的最大值為4，橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數．

（1）求橢圓方程；

（2）設點，過點作直線與圓相切且分別交橢圓于,求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓的離心率，以及基本不等式和橢圓的定義，求出得值，即可得到橢圓的標準方程；

（1）設為，，由直線與圓相切，得到，直線的方程與橢圓的方程聯立，求得，同理求得，再結合斜率公式，即可求解.

（1）由題意，橢圓的定義，可得，

則，解得，

由雙曲線離心率為2，可得橢圓離心率為，即，即，

所以，又由，

所以橢圓方程為.

（2）顯然直線的斜率存在，設為，，

由于直線與圓相切，則，

直線，

聯立方程組得，

所以，得，

同理，當與橢圓相交時，可得，

所以，

而，

所以直線的斜率