Question

【題目】已知函數.（其中常數，是自然對數的底數.）

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：對任意的，當時，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得，再分參數當和兩種情況具體討論，結合導數正負與原函數關系判斷即可；

（2）解法不唯一，由原不等式可等價轉化為，采用構造函數法，設，則，當時，，可設，求導判斷可知，進而得出當時，；當時，；當時，，

∴，從而得證；還可采用合并參數形式得，令，討論可判斷，當時，顯然成立；當且時，，要證對任意的，成立，只需證，可化為，令，通過討論確定函數極值點進而得證；其余證法詳見解析

（1）.

①當時，，函數在R上單調遞增；

②當時，由解得，由解得.

故在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在R上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）證法一：原不等式等價于

令，則.

當時，，

令，則當時，，

∴當時，單調遞增，即，

∴當時，；當時，；當時，，

∴

即，故.

證法二：原不等式等價于.

令，則.

當時，；當時，.

∴，即，當且僅當時等號成立.

當時，顯然成立；

當且時，.

欲證對任意的，成立，只需證

思路1：∵，∴不等式可化為，

令，則，

易證當時，，

∴當時，，當時，，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴

∴，即，

從而，對任意的，當時，.

思路2：令，則.

，或

∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.

∵，

∴，即.

從而，對任意的，當時，.

證法三：原不等式等價于.

令，則.

令，則，其中.

①當時，，在上單調遞增.

注意到，故當時，；當時，

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∴，即.

②當時，.

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

②（i）：若，則.

∵

∴當時，；當時，.

與①同，不等式成立.

②（ii）：若，則，

∵

∴，使得，且當時，；當時，；當時，.

∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∵

∴此時，，即.

綜上所述，結論得證