Question

函數f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）的定義域是

 

，奇偶性為

 

，單調遞減區間是

 

．

Answer 1

考點：冪函數的單調性、奇偶性及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由于m∈N^*，所以m（m+1）是偶數，所以m（m+1）+1是奇數，進而去求函數的定義域，判斷奇偶性和單調性．

解答： 解：因為m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，
∴函數f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）的定義域是{x|x≠0}，
又m²+m+1=m（m+1）+1，
∵m∈N^*，
∴m（m+1）是偶數，
m（m+1）+1是奇數，
故函數f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）是奇函數；
因為函數f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）是奇函數；
故函數在定義域是減函數，減區間是（-∞，0），（0，+∞）．
故答案為：{x|x≠0}，奇函數，（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題主，主要考查函數的定義域、奇偶性和單調性，屬于基礎題．