Question

設f（x）為定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y=x；當x＞2時．y=f（x）的圖象是頂點在p（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分．
（1）求函數f（x）在（2，+∞）上的解析式；
（2）在所給的直角坐標系直接畫出函數y=f（x）的圖象；
（3）寫出函數f（x）值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設y=a（x-3）²+4，再把點A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a的值，可得此式函數的解析式．再根據函數f（x）在R上是偶函數，它的圖象關于y軸對稱，可得函數在R上的解析式．
（2）由函數的解析式作出函數f（x）的圖象．
（3）由函數f（x）的圖象，可得函數的值域．

解答： 解：（1）∵當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在p（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，
可設y=a（x-3）²+4，再把點A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，∴y=-2（x-3）²+4（x＞2）．
∴由于函數f（x）在R上是偶函數，它的圖象關于y軸對稱，故函數的解析式為 f（x）=

|x|，-2≤x≤2 -2(x-3)2+4，x＞2 -2(x+3)2，x＜-2

．
（2）函數f（x）的圖象如圖所示：
（3）由函數f（x）的圖象，可得函數的值域為（-∞，4]．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，偶函數的圖象特征，求函數的值域，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．