Question

已知A=

2

-1，B=

3

-

2

，C=

4

-

3

（Ⅰ）試分別比較A與B、B與C的大小（只要寫出結果，不要求證明過程）；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的比較結果，請推測出

k

-

k-1

與

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）的大小，并加以證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）利用A=

2

-1，B=

3

-

2

，C=

4

-

3

，可比較A與B、B與C的大小（只要寫出結果，不要求證明過程）；
（Ⅱ） 推測結果為

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

．利用求差法、綜合法、分析法進行證明．

解答： 解：（Ⅰ） A＞B …（3分）   B＞C…（6分）
（Ⅱ） 推測結果為

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

．證明如下：
法一（求差法）：∵（

k

-

k-1

）-（

k+1

-

k

）=2

k

-(

k-1

+

k+1

)…（9分）
又∵(2

k

)2-(

k-1

+

k+1

)2=2k-2

k-1

•

k+1

…（10分）=(

k+1

-

k-1

)2＞0…（11分）
∴

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）
法二（綜合法）：∵

k+1

+

k

＞

k

+

k-1

＞0（k≥2，k∈N^*）…（8分）
∴

1

k + k-1

＞

1

k+1 + k

…（9分）
又∵

k

-

k-1

=

1

k + k-1

，

k+1

-

k

=

1

k+1 + k

…（11分）
∴

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）
法三（分析法）：欲證

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

只需證

( k - k-1 )( k + k-1 )

k + k-1

＞

( k+1 - k )( k+! + k )

k+1 + k

…（8分）
即證

1

k + k-1

＞

1

k+1 + k

只需證

k+1

+

k

＞

k

+

k-1

＞0即證

k+1

＞

k-1

…（10分）
只需證k+1＞k-1即證1＞-11＞-1顯然成立，故原命題成立即

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）

點評：本題考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．