Question

某高校在2012年的自主招生考試中隨機抽取60名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100），得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上（含85分）的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？
（Ⅲ）若該校決定在第4，5組中隨機抽取2名學生接受考官A的面試，第5組中有ξ名學生被考官A面試，求ξ的分布列．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,分層抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖先求出其它組的頻率，由此能求出第四組的頻，并能補全頻率分布圖．
（Ⅱ）依題意優秀與良好的人數比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，由此能求出從這5人中選2人至少有1人是優秀的概率．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數為12人，第五組的人數為6人，ξ的所有可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，能求出ξ的分布列．

解答： 解：（Ⅰ）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四組的頻率為1-0.8=0.2，
頻率分布圖如圖所示．…（3分）
（Ⅱ）依題意優秀與良好的人數比為3：2，
所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，
記從這5人中選2人至少有1人是優秀為事件A，
則P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 2

C 2 5

=1-

1

10

=

9

10

．…（6分）
（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數為12人，第五組的人數為6人，
ξ的所有可能取值為0，1，2．
P(ξ=0)=

C 2 12

C 2 18

=

22

51

，P(ξ=1)=

C 1 12 C 1 6

C 2 18

=

24

51

，P(ξ=2)=

C 2 6

C 2 18

=

5

51

．…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	22 51	24 51	5 51

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．