Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題：

①D1P∥平面A1BC1；

②D1P⊥BD；

③平面PDB1⊥平面A1BC1；

④三棱錐A1﹣BPC1的體積不變．

則其中所有正確的命題的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用線面平行的判定定理與性質定理，面面垂直的判定定理與三棱錐的體積公式對四個選項逐一分析判斷即可．

①∵在正方體中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面對角線AC上運動，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正確．

②當P位于AC的中點時，D1P⊥BD不成立，∴②錯誤；

③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正確．

④三棱錐A1-BPC1的體積等于B-A1PC1的體積，△A1PC1的面積為定值A1C1AA1，B到平面A1PC1的高為BP為定值，∴三棱錐A1-BPC1的體積不變，∴④正確．

故答案為：①③④．