Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC= AB= ，平面PBC⊥平面ABCD．

（1）求證：AC⊥PB；
（2）若PB=PC= ，問在側棱PB上是否存在一點M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點E，連結CE，

∵AB∥CD，DC= AB，∴DC AE，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∵∠ADC=90°，∴四邊形AECD是正方形，∴CE⊥AB，

∴△CAB是等腰三角開有，且CA=CB=2，AB=2 ，

∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴AC⊥平面PBC，

又PB平面PBC，∴AC⊥PB

（2）解：設BC的中點為F，連結PF，

∵PB=PC，∴PF=BC，

∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，

連結EF，則EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，

分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

∵AD=PB=PC= ，則F（0，0，0），A（2，﹣1，0），

B（0，1，0），D（1，﹣2，0），P（0，0，1），

∴ =（0，1，﹣1）， =（﹣1，﹣1，0）， =（0，0，1），

若在線段PB上存在一點M，設 = ，（0≤λ＜1），

∵ ，∴ =λ（0，1，﹣1）+（0，0，1）=（0，λ，1﹣λ），

∴M（0，λ，1﹣λ）， ，

設平面MAD的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1， ），

平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

解得 或λ=2（舍）．

∴存在點M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ，且 = ．

【解析】（1）取AB的中點E，連結CE，推導出四邊形AECD是正方形，從而CE⊥AB，再求出AC⊥CB，由此能證明AC⊥PB．（2）設BC的中點為F，連結PF，分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．