Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，試求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)，對(duì)，且滿足，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）一個(gè)零點(diǎn)；（2），理由見解析

【解析】

（1）把代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而可確定函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）把代入函數(shù)的解析式，由，即，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得，進(jìn)而可比較出大小；

（1）當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

易知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；

所以（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2），理由如下：當(dāng)時(shí)，，，

由，即，

從而，令，

則由，得，

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以有，所以，

因此，，由上可知，這里取到等號(hào)需要，

而此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故必有.