Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點，D是B1C1的中點．
（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中點．

∴A1D⊥B1C1，

∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥BC，

∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，

∴A1O⊥AO，A1O⊥BC

∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC

∴A1D⊥平面A1BC

解：（II）

建立坐標系如圖

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4

∴O（0，0，0），B（0， ，0），B1（﹣ ， ， ），A1（0，0， ）

即 =（0， ，﹣ ）， =（0， ，0）， =（ ，0， ），

設平面BB1C1C的法向量為 =（x，y，z），

即得出

得出 =（ ，0，1），| |=4，| |=

∵ = ，

∴cos＜ ， ＞= = ，

可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為

【解析】（I）連接AO，A1D，根據幾何體的性質得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直線平面的垂直定理判斷．（II）利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量 =（ ，0，1），|根據與 數量積求解余弦值，即可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．