Question

（2012•上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=

π

3

，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足

|BM|

|BC|

=

|CN|

|CD|

，則

AM

•

AN

的取值范圍是

[2，5]

．

Answer 1

分析：畫出圖形，建立直角坐標系，利用比例關系，求出M，N的坐標，然后通過二次函數求出數量積的范圍．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），
D（

1

2

，

3

2

），設

|BM|

|BC|

=

|CN|

|CD|

=λ，λ∈[0，1]，
M（2+

λ

2

，

3 λ

2

），N（

5

2

-2λ，

3

2

），
所以

AM

•

AN

=（2+

λ

2

，

3 λ

2

）•（

5

2

-2λ，

3

2

）
=-λ²-2λ+5，因為λ∈[0，1]，二次函數的對稱軸為：λ=-1，
所以λ∈[0，1]時，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
故答案為：[2，5]．

點評：本題考查向量的綜合應用，平面向量的坐標表示以及數量積的應用，二次函數的最值問題，考查計算能力．