Question

（2012•上海）在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，則

AM

•

AN

的取值范圍是

[1，4]

．

Answer 1

分析：先以

AB

所在的直線為x軸，以

AD

所在的直線為x軸，建立坐標系，寫出要用的點的坐標，根據兩個點的位置得到坐標之間的關系，表示出兩個向量的數量積，根據動點的位置得到自變量的取值范圍，做出函數的范圍，即要求得數量積的范圍．

解答：解：以

AB

所在的直線為x軸，以

AD

所在的直線為x軸，建立坐標系如圖，
∵AB=2，AD=1，
∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），
設M（2，b），N（x，1），
∵

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，
∴b=

2-x

2

∴

AN

=(x，1)，

AM

=（2，

2-x

2

），
∴

AM

•

AN

=

3

2

x+1，(0≤x≤2)，
∴1≤

3

2

x+1≤4，
即1≤

AM

•

AN

≤4
故答案為：[1，4]

點評：本題主要考查平面向量的基本運算，概念，平面向量的數量積的運算，本題解題的關鍵是表示出兩個向量的坐標形式，利用函數的最值求出數量積的范圍，本題是一個中檔題目．