Question

（2012•上海）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1．
（1）過C₁的左頂點引C₁的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C₂：4x²+y²=1，若M、N分別是C₁、C₂上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸進線的交點，然后求出三角形的面積．
（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b²=2，通過求解

OP

•

OQ

=0．證明PO⊥OQ．
（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為

3

3

．當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），推出直線OM的方程為y=-

1

k

x，利用

y=kx 4x2+y2=1

，求出|ON|2=

1+k2

4+k2

，|OM|2=

1+k2

2k2-1

，設O到直線MN的距離為d，通過（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=

3

3

．推出O到直線MN的距離是定值．

解答：解：（1）雙曲線C₁：

x2

1 2

-

y2

1

=1左頂點A（-

2

2

，0），
漸近線方程為：y=±

2

x．
過A與漸近線y=

2

x平行的直線方程為y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，
所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．
所以所求三角形的面積為S=

1

2

|OA||y|=

2

8

．
（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故

|b|

2

=1，
即b²=2，由

y=kx+b 2x 2-y 2=1

，
得x²-2bx-b²-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2=2b x1x2=-1-b2

，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=

2

2

，則O到直線MN的距離為

3

3

．
當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），
則直線OM的方程為y=-

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2

=1得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
所以|ON|2=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|2=

1+k2

2k2-1

，
設O到直線MN的距離為d，
因為（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

3+3k2

k2+1

=3，
即d=

3

3

．
綜上，O到直線MN的距離是定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數量積的應用，設而不求的解題方法，點到直線的距離的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．