【題目】已知函數(shù)
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）討論
極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若
是的一個極值點，且
，證明：
.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析
【解析】
（I）求得函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
，對
分成
四種情況進行分類討論，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出極值點的個數(shù).
（II）首先結(jié)合（I）以及
判斷出
，且
，由此求得
的表達式，利用這個表達的導(dǎo)數(shù)求得最大值為
，由此證得
.
（Ⅰ）的定義域為
，，
①若
，則
，
所以當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
，
所以在
上遞減，在
遞增.
所以
為唯一的極小值點，無極大值，
故此時有一個極值點.
②若
，令
，
則
，
，
當(dāng)
時，
，
則當(dāng)時，；當(dāng)
時，；
當(dāng)
時，.
所以－2，
分別為的極大值點和極小值點，
故此時有2個極值點.
當(dāng)
時，
，
且不恒為0，
此時在上單調(diào)遞增，
無極值點
當(dāng)
時，
，
則當(dāng)
時，；當(dāng)
時，
；當(dāng)時，.
所以，－2分別為的極大值點和極小值點，
故此時有2個極值點.
綜上，當(dāng)時，無極值點；
當(dāng)時，有1個極值點；
當(dāng)或時，有2個極值點.
（Ⅱ）證明：若
是的一個極值點，
由（Ⅰ）可知
，
又
，所以，
且
，則，
所以
.
令
，則
，
所以
，
故
又因為
，所以
，令
，得
.
當(dāng)
時，
，
單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
，單調(diào)遞減，
所以是唯一的極大值點，也是最大值點，
即
，
故
，即.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
和圓
，傾斜角為45°的直線
過拋物線
的焦點，且與圓
相切．
（1）求
的值；
（2）動點
在拋物線的準(zhǔn)線上，動點
在上，若在點處的切線
交
軸于點
，設(shè)
．求證點
在定直線上，并求該定直線的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到
列聯(lián)表如下：
（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認為支付方式與年齡是否有關(guān)？
（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為
，求的分布列及期望．
（參考公式：
（其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）討論極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
上一點
與橢圓右焦點的連線垂直于
軸，過橢圓
上一點
的直線
與橢圓
交于
兩點（均不在坐標(biāo)軸上），設(shè)
為坐標(biāo)原點，過的射線
與橢圓
交于點
．
（1）若
，求實數(shù)
的值；
（2）當(dāng)為時，若四邊形
的面積為12，試求直線
的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，且圓
過橢圓的上，下頂點.
（1）求橢圓的方程.
（2）若直線
的斜率為
，且直線交橢圓于
、
兩點，點關(guān)于點的對稱點為
，點
是橢圓上一點，判斷直線
與
的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.
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