Question

已知平面上三點A，B，C滿足

BC

=（2-k，3），

AC

=（2，4）
（1）若三點A，B，C不能構成三角形，求實數k滿足的條件；
（2）若△ABC為直角三角形，求實數k的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據條件可得A，B，C三點共線，所以存在實數λ，有

BC

=λ

AC

，帶入坐標即可求k．
（2）△ABC為直角三角形，所以兩條直角邊相互垂直，所以對應的兩個向量的數量積為0，從而求出k的值，顯然需要討論哪個角為直角．

解答： 解：（1）∵A，B，C三點不能構成三角形，∴三點A，B，C共線；
∴存在實數λ，使

BC

=λ

AC

；
∴

2-k=2λ 3=4λ

，解得k=

1

2

．
∴k滿足的條件是：k=

1

2

．
（2）

AB

=

CB

-

CA

=(k-2，-3)-(-2，-4)=（k，1）
∵△ABC為直角三角形；
∴若∠A是直角，則

AB

⊥

AC

，∴

AB

•

AC

=2k+4=0，∴k=-2；
若∠B是直角，則

AB

⊥

BC

，∴

AB

•

BC

=-k2+2k+3=0，解得k=-1，或3；
若∠C是直角，則

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=4-2k+12=0，解得k=8．
綜上可得k的值為：-2，-1，3，8．

點評：本題考查的知識點為：共線向量基本定理，向量的相等，數量積的坐標運算，相互垂直的兩向量的數量積為0，注意第二問對于角為直角的討論．