Question

【題目】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線距離小

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，它們與（Ⅰ）中軌跡分別交于點(diǎn)及點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36

【解析】

（Ⅰ）可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線距離相等，根據(jù)拋物線定義可得方程；（Ⅱ）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立后利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)坐標(biāo)；從而用表示出，根據(jù)兩條直線互相垂直得到，代入三角形面積公式，利用基本不等式可求得面積的最小值.

（Ⅰ）由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線距離相等

由拋物線的定義知，軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的物線

的軌跡的方程為：

（Ⅱ）設(shè)直線

聯(lián)立得：

設(shè)，

則，

設(shè)直線.同理可得：

，，易知直線的斜率存在且均不為

，即：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

面積的最小值為