Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形中，點是邊的中點，將沿折起，使點到達點的位置，且

（1）求證; 平面平面；

（2）若平面和平面的交線為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明，可得平面，從而證得結果；（2）以E為原點， 所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.

解：（1）連接BE，在平行四邊形中，

∵ ， ，

∴，即，且.

在中，得

又因為，，

∴，即.

又∵平面，平面，且，∴平面

又∵平面，∴平面⊥平面.

（2）由（1）得兩兩垂直，故以E為原點， 所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.則，， ，

.∴ ，.

可知是平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為

，則 ，可取

所以，

即所求二面角的余弦值為