Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，F為棱PA上一點，且，M為AD的中點，四棱錐的體積為．

（1）若，N是PB的中點，求證：平面平面PCD；

（2）在（Ⅰ）的條件，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）由是AP的中點，證得，又由四邊形是矩形，證得，從而證得面，再由，證得面，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面平面．

（2）連接，根據面面垂直的性質，證得面，又由是的中點，得到到面的距離等于到面的距離的一半，利用體積公式，即可求解．

（1）因為，所以是的中點，又因為N是PB的中點，所以，

由四邊形是矩形，得，故，

由，面，所以面

又由，且面，面，所以面，

又因為面

根據面面平行的判定定理，可得平面平面．

（2）連接，由是等邊三角形，得，

又因為面面，面面，面，

所以面

因為是的中點，所以到面的距離等于到面的距離的一半，

設．