Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）設(shè)h（x）＝lnx﹣ex+ax﹣a（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出n的值即可．

(1)

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.

綜上所述:當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

(2)由己知可得方程有唯一解，且

設(shè)，即有唯一解，

由，則在上單調(diào)遞減.

所以在上單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減.

又時，時，

故存在使得，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增

時，在上單調(diào)遞減.

又有唯一解，則必有

當(dāng)時，，故存在唯一的滿足下式:

由消去得.

令

故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.

由.

即存在，使得，即.

又關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，且

.故.