Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點是的中點．

（1）求證：平面PAD；

（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明線面平行，關鍵是證明線線平行，所以取中點，連結，，根據條件證明；

（2）取中點，連結，可證明平面，取中點，連結，則，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，求平面的法向量，用兩個平面的法向量求二面角的余弦值.

證明：（1）取中點，連結，．

因為為中點，所以，．

因為，．所以且．

所以四邊形為平行四邊形，所以．

因為平面，平面，

所以平面．

（2）取中點，連結．

因為，所以．

因為平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．取中點，連結，則．

以為原點，如圖建立空間直角坐標系，

設，則，，，，，

，．

平面的法向量，

設平面的法向量，

由，得．

令，則，．

由圖可知，二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值為．