Question

【題目】已知橢圓的焦距為4，點P（2，3）在橢圓上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P引圓的兩條切線PA，PB，切線PA，PB與橢圓C的另一個交點分別為A，B，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，求出其定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題可得焦點坐標，利用橢圓的定義可得，由此得到橢圓的標準方程；

（2）設出兩條切線的直線方程，由切線的性質可得兩切線的斜率相加0，再設出，，分別聯立兩切線與橢圓的方程，利用韋達定理得到，與，的關系，代入進行化簡即可得到答案。

（1）橢圓C的焦距為4，所以c＝2，左焦點F1（﹣2，0），右焦點F2（2，0），

則PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，則橢圓C的方程為．

（2）設PA： ，則，所以

設PB：，則，所以

所以，為方程的兩根，即．

設，，聯立

有，

，．

同理聯立，可得：，

則．

故直線AB的斜率是定值，。