【題目】已知動圓過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）若點(diǎn)A（x0 ， y0）是直線x﹣y﹣4=0上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作曲線C的切線，切點(diǎn)記為M，N．
①求證：直線MN恒過定點(diǎn)；
②△AMN的面積S的最小值．
【答案】
（1）
解：動圓過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．
由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程：x2=4y
（2）
①證明：∵x2=4y，∴y′= 
，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
曲線在點(diǎn)M的曲線方程為：y= 
x﹣y1，在點(diǎn)N處的曲線方程為：y= 
x﹣y2，
代入點(diǎn)A（x0，y0），可得直線MN的方程：y= 
，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，
∴直線MN恒過定點(diǎn)P（2，4）．
②解：聯(lián)立 
，化為：x2﹣2x0x+4y0=0，
△= 
= 
0，
∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0﹣16．
∴|MN|= 
= 
．
點(diǎn)A到直線MN的距離d= 
．
∴S= 
d|MN|= 
，
令t= 
= 
+12≥12，
則S≥ 
=12 
，當(dāng)且僅當(dāng)x0=2，y0=﹣2時，取等號．
∴△AMN的面積S的最小值為12
【解析】（1）動圓過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程．（2）①x2=4y，可得y′= ，設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），曲線在點(diǎn)M的曲線方程為：y= x﹣y1 ， 在點(diǎn)N處的曲線方程為：y= x﹣y2 ， 代入點(diǎn)A（x0 ， y0），可得直線MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，即可證明直線MN恒過定點(diǎn)．
②聯(lián)立 ．點(diǎn)A到直線MN的距離d= ．利用S= d|MN|，即可得出．
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【題目】如圖所示，四面體ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4 
，∠ABC=30°． 
（I）求證：AC⊥BD；
（II）若二面角B﹣AC﹣D為45°，求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值．
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【題目】已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域?yàn)锳，且[﹣1，2]A，求a的取值范圍．
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【題目】春節(jié)期間商場為活躍節(jié)日氣氛，特舉行“購物有獎”抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為 
，每次中獎可以獲得20元購物代金券，方案乙的中獎率為 
，每次中獎可以獲得30元購物代金券，未中獎則不獲得購物代金券，每次抽獎中獎與否互不影響，已知小明通過購物獲得了2次抽獎機(jī)會．
（1）若小明選擇方案甲、乙各抽獎一次，記他累計(jì)獲得的購物代金券面額之和為X，求X≤30的概率；
（2）設(shè)小明兩次抽獎都選擇方案甲或都選擇方案乙，且都選擇方案乙時，已算得，累計(jì)獲得的購物代金券面額之和X1的數(shù)學(xué)期望E（X1）=24，問：小明選擇這兩種方案中的何種方案抽獎，累計(jì)獲得的購物代金券面額之和的數(shù)學(xué)期望較大？
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【題目】在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（Ⅰ）對任意a∈R，a*0=a；
（Ⅱ）對任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
關(guān)于函數(shù)f（x）=（ex）* 
的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0]．其中所有正確說法的序號為 ．
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【題目】某校舉行“慶元旦”教工羽毛球單循環(huán)比賽（任意兩個參賽隊(duì)只比賽一場），共有高一、高二、高三三個隊(duì)參賽，高一勝高二的概率為 
，高一勝高三的概率為 
，高二勝高三的概率為P，每場勝負(fù)獨(dú)立，勝者記1分，負(fù)者記0分，規(guī)定：積分相同者高年級獲勝．
（Ⅰ）若高三獲得冠軍概率為 
，求P．
（Ⅱ）記高三的得分為X，求X的分布列和期望．
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【題目】在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若點(diǎn)P滿足 
= 
+λ 
，且 
=1，則實(shí)數(shù)λ的值為 ．
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【題目】已知函數(shù)f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且僅有兩個整數(shù)使得f（x）≤0．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
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