Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F₁,F₂,上頂點A(0,b),△AF₁F₂為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓C的標準方程及離心率;
(2)O為坐標原點,P是直線F₁A上的一個動點,求|PF₂|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標.

Answer 1

(1) +=1   e=   (2)     (,)

解:(1)由題設得
解得a=2,b=,c=1.
故C的方程為+=1,離心率e=.
(2)直線F₁A的方程為y=(x+1),
設點O關于直線F₁A對稱的點為M(x₀,y₀),
則⇒
所以點M的坐標為(-,).
∵|PO|=|PM|,|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|≥|MF₂|,
|PF₂|+|PO|的最小值為
|MF₂|==.
直線MF₂的方程為y=(x-1),
即y=-(x-1).
由⇒
所以此時點P的坐標為(,).