Question

已知橢圓C：的一個焦點(diǎn)是（1，0），兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對稱點(diǎn)為A₁．求證：直線A₁B過x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）定點(diǎn)（1，0）．

解析試題分析：（1）求橢圓C的方程，由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可求得，再根據(jù)橢圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．由等邊三角形的性質(zhì)，可求得和的關(guān)系式，可求得，進(jìn)而求得，則橢圓的方程可得；（2）求證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．這是過定點(diǎn)問題，這類題的處理方法有兩種，一．可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．二．從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．本題可設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去，設(shè)出，，則可利用韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)，利用求得，從而得證．
試題解析：（1）橢圓C：的一個焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距，又因?yàn)闄E圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；·           ５分

（2）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：
.
記，，，
.            8分
由A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），
得，即.
所以
即定點(diǎn)（1，0）.     13分
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．