Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設經過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y₀)，求y₀的取值范圍．

Answer 1

(1) ＋＝1. (2)

試題分析：解：(Ⅰ)設橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.
因為橢圓C的離心率為，
所以a＝2c＝2，b²＝a²－c²＝3.   2分
故橢圓C的方程為＋＝1.   3分
(Ⅱ)當MN⊥x軸時，顯然y₀＝0.   4分
當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為
y＝k(x－1)(k≠0)．  5分
由
消去y并整理得(3＋4k²)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.   6分
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，線段MN的中點為Q(x₃，y₃)，
則x₁＋x₂＝.
所以x₃＝＝，y₃＝k(x₃－1)＝.  8分
線段MN的垂直平分線的方程為
y＋＝－.
在上述方程中，令x＝0，得y₀＝＝.  9分
當k<0時，＋4k≤－4；當k>0時， ＋4k≥4.
所以－≤y₀<0或0<y₀≤.  11分
綜上，y₀的取值范圍是.  12分
點評：對于橢圓方程的求解主要是根據其性質滿足的的a,b,c的關系式來解得，同時對于直線與橢圓的相交問題，一般采用聯立方程組的思想，結合韋達定理和判別式來分析參數的范圍等等，或者研究最值，屬于中檔題。