Question

（本小題滿分12分）
拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且。 
(1) 求拋物線方程；
(2) 在x軸上是否存在一點C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在，求出點C的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形

試題分析：（1）設拋物線方程為
得：
設
則




拋物線方程是……………………………………………6分
（2）設AB的中點是D，則
假設x軸上存在一點C(x₀, 0)
因為三角形是正三角形，
所以CD⊥AB
得：

又
矛盾，故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形…………12分
點評：解析幾何的本質就是運用代數的方法，結合坐標來分析解析幾何中的圖形的性質。因此設而不求的思想，是解析幾何中解答題的必須步驟，同時結合韋達定理來實現坐標關系，屬于中檔題。