Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F分別在線段AAl ， A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF，M為AB中點 （Ⅰ）證明：EF⊥平面CME；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在正方形ABB1A1中，A1E= ，AM=1， 在Rt△EAM和Rt△FA1E中， ，
又∠EAM=∠FA1E= ，∴Rt△EAM∽Rt△FA1E，
∴∠AEM=∠A1FE，∴EF⊥EM，
又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面CEM．
解：（Ⅱ）在等腰三角形△CAB中，
∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB= ，且CM=1，
設線段A1B1中點為N，連結MN，由（Ⅰ）可證CM⊥平面ABB1A1 ，
∴MC，MA，MN兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C（1，0，0），E（0，1， ），F（0， ，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），
=（﹣1，1， ）， =（0，﹣ ， ）， =（1，﹣1，2），
設平面CEF的法向量為 =（x，y，z），
則 ，取z=2，得 =（5，4，2），
設直線AC1與平面CEF所成角為θ，
則sinθ= = ，
∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出Rt△EAM∽Rt△FA1E，從而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能證明EF⊥平面CEM．（Ⅱ）設線段A1B1中點為N，連結MN，推導出MC，MA，MN兩兩垂直，建空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．