Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數（是自然對數的底數）恰有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2）.

【解析】

（1）先根據題意求得函數的定義域，再對函數求導，利用導數求函數的單調區間即可；

（2）先將函數恰有一個零點等價轉化為方程在上恰有一解，然后換元，構造函數，利用分類討論思想進行求解，也可分離參數，構造新函數，利用導數研究新函數的圖象，數形結合即可求解．

（1）由題意知，函數的定義域為，則，

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減，

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（2）解法1、由函數恰有一個零點，等價于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解，

令，易知在上單調遞增，

且當時，，當時，，所以，

所以方程在上恰有一解，

記，則．

①當時，，所以函數單調遞增，

又當時，，且，

所以當時，方程在上恰有一解，滿足題意．

②當時，方程在上恰有一解，滿足題意．

③當時，由，得，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減．

又當時，，當時，，

所以當，即時，方程在上恰有一解．

綜上所述，實數的取值范圍為．

解法2、 函數恰有一個零點，等價于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解．

令，易知在上單調遞增，

且當時，，當時，，所以，

所以方程在上恰有一解，

即方程在上恰有一解．

令，則，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

又當時，，當時，，且當時，，，

所以作出函數的大致圖象，如圖所示，

數形結合可知，或．

故實數的取值范圍為．