Question

【題目】已知函數

（1）若函數有且只有一個零點，求實數的值

（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用參變分離可得在有且只有一個根，再利用導數研究函數在的值域，即可得到答案；

（2）利用換元法將問題轉化為在恒成立，構造函數，對分成和兩種情況討論.

（1）由題意得在有且只有一個根，

令，則，

當，，

在單調遞減，在單調遞增，且，

當時，，當時，，

時，函數有且只有一個零點.

（2）令，，

，即在恒成立，

令，則，

①當時，，當，，

在單調遞減，在單調遞增，且，

在恒成立，在單調遞增，且，

恒成立，

時在恒成立；

②當時，，當，

在單調遞減，在單調遞增，

，時，，

設存在兩根，且，

在，單調遞增，在單調遞減，

若時，，

則，解得：，

；

若時，，

則，解得：（舍去），

綜上所述：.