Question

【題目】已知函數，.

(1)若，求曲線在處的切線方程；

(2)若對任意的，，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）對求導得到，代入，得到切線的斜率，結合切點，得到切線方程；（2）根據題意，得到，然后利用參變分離，得到，設，利用導數得到的最小值，從而得到的范圍.

（1）因為，所以函數，

所以，即切點為

所以，

代入，得到，

故所求的切線方程為，

即.

（2）對任意的，，恒成立，

可得，對任意的，恒成立，

，令得或，

所以時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

而，，所以，

所以，對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

所以，對任意的恒成立，

設，，則

，

設，

因為，所以，所以單調遞增，

即單調遞增，而，

所以當，，單調遞減，

當，,單調遞增，

所以時，取得最小值，為，

所以.