Question

【題目】橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，左、右焦點分別為，，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，試探究在軸上是否存在定點，使得可為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據，以及離心率，結合關系，可得結果.

（2）假設點坐標以及直線方程，可得坐標，然后聯立與橢圓方程，利用韋達定理，計算，通過觀察，可得結果.

（1）由知； ①

由題知 ②

又 ③，

由①②③得：，.

∴橢圓的方程為：.

（2）①當直線的斜率不為0時，

設，，，

直線的方程為，

由得，

∴.

∴

又，

所以化簡可得

.

令，得.

故此時點，.

②當直線的斜率為0時，

可.

綜上所述：

在軸上存在定點，

使得為定值.