Question

過棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AD、CD、A₁B₁的中點E、F、G作截面，求：
（1）棱錐C-EFG的體積；
（2）點C到平面EFG的距離；
（3）直線B₁C到平面EFG的距離．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用等體積轉換，可求棱錐C-EFG的體積；
（2）取AB的中點H，利用V_C-EFG=V_G-EFC，求點C到平面EFG的距離；
（3）B₁C∥平面EFG，則直線B₁C到平面EFG的距離，即為點C到平面EFG的距離．

解答： 解：（1）V_C-EFG=V_G-EFC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

（2）取AB的中點H，則EH=6

2

，HF=2，
∴EG=

6

，GF=2

2

，EF=

2

，
∴GF²=EG²+EF²，∴∠GEF=90°，
∴S_△EFG=

1

2

EG•EF=

1

2

×

6

×

2

=

3

設C到平面EFG的距離為h，∴V_C-EFG=V_G-EFC，∴

1

3

S△EFG•h=

1

6

，h=

3

6

（3）∵GF∥B₁C，∴B₁C∥平面EFG，
∴直線B₁C到平面EFG的距離，即為點C到平面EFG的距離為

3

6

．

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查點、線、面間的距離計算，正確求體積是關鍵．