Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=

π

3

，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分別在棱PC、PA上，CE=

1

3

CP，AF=

1

3

AP，G為PD中點，△PBD是邊長為6的等邊三角形．
（Ⅰ）求證：B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）求V_{四棱錐P-BECF}．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設PO，BG交點為H，證明H，F，E三點共線，FE∩BG=H，即可證明：B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）證明PD⊥平面BEGF，利用V_{四棱錐P-BECF}=

1

3

×S_BEGF×PG求體積．

解答： （Ⅰ）證明：設PO，BG交點為H，則
∵O，G分別為BD，PD中點，
∴H為△PBD的重心，
∴OH=

1

3

OP
∵CE=

1

3

CP，
∴HE∥OC，
同理HF∥OA，
∴H，F，E三點共線，FE∩BG=H，
∴B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）解：由題意，PO⊥AC，BD⊥AC，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD，
∴AC⊥PD，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BG，
∴PD⊥平面BEGF，
由（Ⅰ）得EF=

2

3

AC，
∵AC=6

3

，
∴EF=4

3

，
∵BG=3

3

，EF⊥BG，
∴S_BEGF=

1

2

×3

3

×4

3

=18，
∴V_{四棱錐P-BECF}=

1

3

×S_BEGF×PG=

1

3

×3×18=18．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合，考查錐體體積的計算，正屬于中檔題．