【題目】已知函數
有兩個零點
、
，
，則下面說法不正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.有極小值點
，且
【答案】C
【解析】
先證明出對數平均不等式
，由題意得出
，將兩式作差結合對數平均不等式可判斷出A、B選項的正誤，利用導數分析函數
的單調性，結合該函數的極值以及該函數有兩個零點可判斷出選項的正誤，求出極值點，將中兩等式相加可判斷D選項的正誤.
先證明對數平均不等式.
先考慮不等式
，設
，
即證
，即證
，令
，即證不等式
.
構造函數
，則
，
所以，函數
在
上單調遞增，則
，
當
，
且
時，
；
接下來考慮不等式
，設，
即證
，即證
，設
，即證不等式
.
構造函數
，則
，
所以，函數
在上單調遞增，則
，
當，且時，有.
即當，且時，
.
對于C選項，
，
.
①當
時，
對于任意
恒成立，此時函數在
上單調遞增，該函數最多有一個零點；
②當
時，令
，得
.
當
時，
，當
時，.
所以，函數在
上單調遞減，在
上單調遞增.
所以，函數在處取得極小值，
由于該函數有兩個零點，則
，
即
，解得
，C選項錯誤；
對于A、B選項，由于函數
有兩個零點
、
，且
，
由于，則
，
，且有
，
則
，兩個等式兩邊取自然對數得，
兩式相減得
，
，
由對數平均不等式得
，即
，
，
，A、B選項都正確；
對于D選項，由C選項可知，
，
將中兩個等式相加得
，
，即
，D選項正確.
故選：C.
快樂暑假暑假能力自測中西書局系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點P（2，1）．
（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；
（2）過點P作x軸的垂線l，設點A為第四象限內一點且在橢圓C上（點A不在直線l上），點A關于l的對稱點為A'，直線A'P與C交于另一點B．設O為原點，判斷直線AB與直線OP的位置關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）當a＝1時，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤﹣1}，求a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若無窮數列
滿足
對所有正整數
成立，則稱為“
數列”，現已知數列
是“數列”.
（1）若
，求
的值；
（2）若
對所有
成立，且存在
使得
，求
的所有可能值，并求出相應的的通項公式；
（3）數列
滿足
，證明：是等比數列當且僅當是等差數列。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直三棱柱
中， 
， 
， 
，點
是線段
上的動點.
（1）當點
是
的中點時，求證： 
平面
；
（2）線段
上是否存在點
，使得平面
平面
？若存在，試求出
的長度；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，點
到兩點
、
的距離之和等于
，設點的軌跡為
，斜率為
的直線
過點，且與軌跡交于
、
兩點.
（1）寫出軌跡的方程；
（2）如果
，求的值；
（3）是否存在直線，使得在直線
上存在點
，滿足
為等邊三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發時,輪船位于港口O北偏西
且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以
海里/小時的航行速度勻速行駛，經過
小時與輪船相遇。
(1)若
小時，小艇與輪船恰好相遇，求小艇速度的大小和方向；（角度精確到
）；
(2)為保證小艇在90分鐘內(含90分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值。
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