Question

點（

2

，2）在冪函數f（x）的圖象上，點（-2，

1

4

）在冪函數g（x）的圖象上．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）當x取何值時：①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）．

Answer 1

考點：冪函數的性質,冪函數的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由冪函數的定義利用待定系數數法能求出f（x），g（x）的解析式．
（2）①由x2-

1

x2

＞0，得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f（x）＞g（x）；
②由x2-

1

x2

=0，得x=±1時，f（x）=g（x）；
③由x2-

1

x2

＜0，得x∈（-1，1），f（x）＜g（x）．

解答： 解：（1）∵（

2

，2）在冪函數f（x）=x^α的圖象上，
∴(

2

)α=2，解得α=2，
∴f（x）=x²．
∵點（-2，

1

4

）在冪函數g（x）=x^β的圖象上，
∴（-2）^β=

1

4

，解得β=-2，
∴g（x）=x^-2．
（2）①由f（x）=x²＞g（x）=x^-2，
得x2-

1

x2

＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f（x）＞g（x）；
②由f（x）=x²=g（x）=x^-2，
得x2-

1

x2

=0，解得x=1或x=-1，
∴x=±1時，f（x）=g（x）；
③由f（x）=x²＜g（x）=x^-2，
得x2-

1

x2

＜0，解得-1＜x＜1，
∴x∈（-1，1），f（x）＜g（x）．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查不等式的解法，是基礎題，解題時要熟練掌握冪函數的性質．