Question

（Ⅰ）求函數y=2xcosx的導數；
（Ⅱ）已知A+B=

5π

4

，且A，B≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
求證：（1+tanA）（1+tanB）=2．

Answer 1

分析：（I）根據導數公式和導數的運算法則加以計算，可得y=2xcosx的導數為y'=2cosx-2xcosx；
（II）根據題意得tan（A+B）=tan

5π

4

=1，利用兩角和的正切公式代入化簡可得tanA+tanB=1-tanAtanB，由此化簡即可得到（1+tanA）（1+tanB）=2，原等式成立．

解答：解：（I）由導數的運算法則，可得
y'=（2xcosx）'=（2x）'cosx+2x（cosx）'=2cosx-2xcosx．
即函數y=2xcosx的導數為y'=2cosx-2xcosx；
（II）∵A+B=

5π

4

，∴tan（A+B）=tan

5π

4

=1．
即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，可得tanA+tanB=1-tanAtanB，
因此（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+（1-tanAtanB）+tanAtanB=2．
∴等式（1+tanA）（1+tanB）=2成立．

點評：本題著重考查了導數公式與導數的運算法則、兩角和的正切公式和等式的證明等知識，屬于基礎題．