Question

函數f（x）的定義域為（0，+∞），并滿足以下條件：
①對任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（3）若x滿足f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)，求函數y=2x+

1

x

的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用單調性定義：設x₁＞x₂＞0，則f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)＞f(x2)，由此可判斷單調性；
（3）先根據單調性求出x的范圍，然后判斷y=2x+

1

x

的單調性，根據單調性即可求得其最值．

解答：解：（1）令x=y=1，則由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）設x₁，x₂是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＞x₂＞0，
則

x1

x2

＞1，則f(

x1

x2

)＞0，
于是有f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)＞f(x2)，
即f（x₁）＞f（x₂）．
則由函數單調性的定義知，f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
（3）由（2）及f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)知，

1

2

≤x≤2，
于是y=2x+

1

x

=2(x+

1 2

x

)在[

1

2

，

2

2

]上單調遞減，在[

2

2

，2]上單調遞增，
f(

1

2

)=3，f(2)=

9

2

，
因此最大值為x=2時，y=

9

2

，
最小值為x=

2

2

時，y=2

2

，
綜上所述，y=2x+

1

x

的最大值為

9

2

，最小值為2

2

．

點評：本題考查抽象函數的單調性、最值問題，關于抽象函數的單調性一般采用定義判斷．