Question

【題目】已知點是橢圓的左、右頂點， 為左焦點，點是橢圓上異于的任意一點，直線與過點且垂直于軸的直線交于點，直線于點.

（1）求證：直線與直線的斜率之積為定值；

（2）若直線過焦點， ，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）設，利用點在橢圓上的條件，化簡，得到定值；（2）設直線的斜率分別是 ，并且表示直線，以及求出交點的坐標，根據，表示直線的斜率，根據三點共線，表示，得到的齊次方程，求的值，并且代入求的值.

試題解析：（1）證明：設，由已知，

∴.①

∵點在橢圓上，∴.②

由①②得（定值）.

∴直線與直線的斜率之積為定值.

（2）設直線與斜率分別為，由已知，

直線的方程為，

直線，則.

∵，∴.

由（1）知，故，

又三點共線，得，

即，得.

∵，∴，

，解得或（舍去）.

∴.

由已知，得，

將代入，得，故.