Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數f（x）=2xtan2α+sin（2α+

π

4

），數列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），設T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m對n≥2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與三角函數的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,三角函數的求值

分析：（1）由α為銳角，且tanα=

2

-1可求得tan2α=1，2α=

π

4

，sin（2α+

π

4

）=1，從而求出函數f（x）的表達式；
（2）由（1）知，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1可推出a_n+1+1=2（a_n+1），又由a₁=1，則數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，從而求出a_n+1=2ⁿ，進而可得b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，代入可得T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+

1

3+n

+…+

1

2n

，可證明T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，從而求若T_n＞m對n≥2恒成立化為T₂＞m，從而求解．

解答： 解：（1）∵tanα=

2

-1，
∴tan2α=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
又∵α為銳角，
∴2α=

π

4

，
∴sin（2α+

π

4

）=sin

π

2

=1，
∴f（x）=2x+1；
（2）∵a₁=1，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
則b₁=1，b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，
則T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+

1

3+n

+…+

1

2n

，
T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，
則對n≥2，當n=2時，T_n取得最小值，
T₂=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，
則m＜

7

12

．

點評：本題考查了三角恒變換及等差等比數列的求法，用到了二倍角公式，構造數列及遞增數列的判斷，屬于中檔題．