Question

【題目】已知正數數列的前項和為，，且.

（1）求的通項公式．

（2）對任意，將數列中落在區間內的項的項數記為，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】(1) an＝4n－3(n∈N*) (2)

【解析】

（1）利用遞推關系與等差數列的通項公式即可得出；

（2）對任意m∈N+，4m＜4n﹣3＜42m，由，能求出數列{bm}的前m項和Sm．

(1) ∵，

∴8Sn﹣14an﹣1+3，（n≥2），

∴，

∴

∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝4（n≥2），

∴數列{an}是以4為公差的等差數列．

又∵，

∴，而a1＜3，

∴a1＝1．

∴an＝4n﹣3（n∈N*）．

(2)對m∈N*，若4m＜4n﹣3＜42m

則4m＋3<4n<42m＋3.

因此.

故得bm＝－.

于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm

＝(4＋43＋…＋42m－1)－(1＋4＋…＋4m－1)

.