Question

【題目】已知，為兩非零有理數列（即對任意的，，均為有理數），為一個無理數列（即對任意的，為無理數）．

（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；

（2）若為有理數列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；

（3）已知，，試計算．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據不等式可得，把代入即可解出

（2）根據化簡，利用為有理數即可解決

（3）根據題意可知，本題需分為奇數和偶數時討論，通過求出．

（1）∵，∴，即，

∴，

∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，

∵，，為有理數列，為無理數列，

∴，∴，以上每一步可逆．

（3），∴．

∵，∴，

當時，∴

當時，∴，∴為有理數列，

∵，∴，

∴，

∵，，為有理數列，為無理數列，

∴，∴，

∴

當時，∴

當時，∴，

∴．